Алгоритм построения комплексного чертежа точки по координатам. Комплексный чертёж точки и прямой Комплексный чертёж точки

Спроецируем точку А ортогонально на обе плоскости проекций:

АА 1 _|_ П 1 ;AА 1 ^П 1 =A 1 ;

АА 2 _|_ П 2 ;AА 2 ^П 2 =A 2 ;

Проецирующие лучи АА 1 и АА 2 взаимно перпендикулярны и создают в пространстве проецирующую плоскость АА 1 АА 2 , перпендикулярную обеим сторонам проекций. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по линиям, проходящим через проекции точки А .

Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П 1 с фронтальной плоскостью П 2 вращением вокруг оси П 2 /П 1 (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки окажутся на одной линии, перпендикулярной оси П 2 /П 1 . Прямая А 1 А 2 , соединяющая горизонтальную А 1 и фронтальную А 2 проекции точки, называется вертикальной линией связи .

Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом . Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки А относительно этих плоскостей (рис. 61, б) ее высотой h (АА 1 =h ) и глубиной f(AA 2 =f ), то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А 2 чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине f . Конец этого перпендикуляра определит положение точки А относительно плоскости чертежа.

угольник; любое ребро параллельно трем ребрам и перпендикулярно восьми ребрам; параллельные ребра имеют одинаковую длину.

Через ребра, выходящие из вершины O, проведем оси x, y, z (рис. 2.2). Система Oxyz является декартовой системой координат (оси перпендикулярны, единица измерения одинакова по всем осям, точка O – начало координат).

Через грани, проходящие через точку O, проведем плоскости П 1 , П 2 , П 3 (рис. 2.3). Тогда оси x и y принадлежат плоскости П 1 (горизонтальная плоскость проекций), оси x и z принадлежат П 2 (фронтальная плоскость проекций), оси y и z принадлежат П 3 (профильная плоскость проекций). Пространство делится плоскостями проекций П 1 , П 2 и П 3 на восемь частей – октантов. Номера их показаны на рис. 2.3.

Пусть точка А является точкой пространства, для которой мы хотим построить комплексный чертеж. Тогда, ортогонально проецируя точку А на П 1 , получим точку А 1 . Действительно, точка А 1 принадлежит П 1 , ребро АА 1 перпендикулярно плоскости П 1 , т. е. А 1 – ортогональная проекция точки А на плоскость П 1 . Точка А 1 – горизонтальная проекция точки А. Ортогонально проецируя точку А на П 2 , получим А 2 (фронтальная проекция точки А), ортогонально проецируя точку А на П 3 , получим А 3 (профильная проекция точки А). Доказательство такое же, как и для проекции А 1 . Обратим внимание на то, что при проецировании точки на две плоскости проекций фигура AA 1 A x A 2 – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна оси Ox.

Безразмерное число, по абсолютной величине равное расстоянию от точки А до плоскости проекций и взятое со знаком, называется координатой точки. Так, например, координата x A (измеряется вдоль оси x) по абсолютной величине равна длине отрезка А 3 А и положительна, если точка А находится в том же полупространстве относительно плоскости П 3 , что и положительная полуось оси x. В противном случае координата отрицательна. Все ребра параллелепипеда, параллельные и равные А 3 А будем называть координатными отрезками x A . Это отрезки А 3 А, А y А 1 , ОА x , А z А 2 . Длины этих отрезков, взятые со знаком, являются координатой x А точки А. Аналогично вводятся и координатные отрезки y А и z А. Координатные отрезки y А: А 2 А; А x А 1 ; ОА y ; А z А 3 . Координатные отрезки z А: А 1 А; А y А 3 ; ОА z ; А x А 2 . Напомним, что ломаная ОА x А 1 А называется координатной ломаной. Ее звенья – координатные отрезки x А, y А, z А. Запись В(3; 2; 5) означает, что координата x В = 3, координата y В = 2, координата z В = 5.

Будем рассматривать только те точки и линии, которые расположены в плоскостях проекций и выполним повороты плоскостей П 1 и П 3 вокруг осей x и y соответственно до совмещения с плоскостью П 2 . Направления поворотов на рис. 2.3 показаны штриховыми линиями. Плоскость П 2 является плоскостью чертежа. После поворота оси координат займут положение, показанное на рис. 2.4.

Ось y, двигаясь с плоскостью П 1 попадает на ось z, а двигаясь с плоскостью П 3 , попадает на ось x. Это второе положение оси y обозначим y". Достраивая ребра параллелепипеда, расположенные в плоскостях проекций, получим рис. 2.5. Поскольку ребра параллелепипеда, проходящие через вершину А x , взаимно перпендикулярны, то получим, что А 2 А x и А x А 1 расположены на одной прямой, перпендикулярной оси x. Аналогично отрезки А 2 А z и А z А 3 расположены на одной прямой, перпендикулярной оси z. Прямые (А 1 А 2) и (А 2 А 3) называются линиями проекционной связи (иногда под линиями проекционной связи понимают соответствующие отрезки этих прямых).

На рис. 2.5 обозначены координатные отрезки x А, y А, z А. Для того чтобы обеспечить линейную связь между А 1 и А 3 , введем прямую k (постоянная прямая чертежа). Ломаную А 1 А k А 3 (или две пересекающиеся прямые А 1 А k и А k А 3) будем считать линией проекционной связи для А 1 и А 3 .

Таким образом, точке А пространства соответствует изображение на плоскости, состоящее из трех проекций А 1 , А 2 , А 3 , связанных между собой линиями проекционной связи, которое называется комплексным чертежом точки A в системе (П 1 П 2 П 3). Этот чертеж обратим, так как на нем присутствуют все три координатных отрезка, что устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их изображениями на плоскости.

В курсе черчения, при изображении предметов на чертеже, горизонтальная проекция называется видом сверху, фронтальная – видом спереди, профильная – видом слева.

Если известны А 1 и А 2 , то А 3 можно построить. Достаточно провести через А 2 линию проекционной связи перпендикулярно оси z и через А 1 – ломаную линию проекционной связи. Пересечение этих линий и будет точкой А 3 . Кроме того, на чертеже, содержащем только А 1 и А 2 , присутствуют все координатные отрезки, т. е. такой чертеж тоже обратим. Изображение точки А, состоящее из проекций А 1 и А 2 , связанных между собой линией проекционной связи, называется комплексным чертежом точки А в системе (П 1 П 2) или комплексным чертежом. При получении такого чертежа плоскость П 3 не вводится. Пространство двумя плоскостями П 1 и П 2 делится на четыре части – четверти. Номера четвертей совпадают с номерами первых четырех октантов.

Для построения комплексного чертежа точки А(x А, y А, z А) необходимо построить по координатам А 1 (x А, y А) и А 2 (x А, z А). Если рассматривается комплексный чертеж в системе (П 1 П 2 П 3), то можно по координатам построить А 3 (y А, z А), при этом используется ось y". Можно А 3 построить и по линиям проекционной связи. При откладывании координатных отрезков на отрицательных полуосях необходимо обратить внимание на то, что отрицательные полуоси одних осей совпадают с положительными полуосями других осей.

На рис. 2.6 приведены комплексные чертежи в системе (П 1 П 2 П 3) точек А(3; 4; 2) и В(2; 3; –2), С(–1; 0; 3). Единица измерения помечена штрихами на координатных отрезках. Точка А находится в первом октанте, точка В – в четвертом октанте, точка С принадлежит плоскости П 2 . О точке С можно сказать, что она принадлежит пятому и шестому октантам одновременно. На рис. 2.7 приведены комплексные чертежи в системе (П 1 П 2) точек К(4; 2; 2) и L(5; –3; 4), M(6; –2; –3), N(1; 3; –5), F(–2; 3; 4). Точки К и F находятся в первой четверти, точка L – во второй, точка М – в третьей, точка N – в четвертой четверти.

Принадлежность точки определенной четверти или октанту можно выявить по знакам координат x, y, z этой точки. Для точек каждой четверти или октанта характерны определенные знаки координат. Можно представить координатные плоскости, оси координат (рис. 2.3) и мысленно построить координатную ломаную точки (ОA x А 1 А на рис. 2.3) и увидеть в какой четверти или октанте находится точка.

Знаки координат x, y, z в октантах: 1(+; +; +); 2(+; −; +); 3(+; −; −); 4(+; +; −); 5(−; +; +); 6(−; −; +); 7(−; −; −); 8(−; +; −).

В дальнейшем рассматриваются комплексные чертежи фигур в системе (П 1 П 2). Единица измерения по всем осям одинакова – один миллиметр и специально помечаться штрихами не будет.

1. Наибольшее применение в технической практике получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала. Такой чертеж называется комплексным.

Принцип образования такого чертежа состоит в том, что данный оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекций 1 располагается вертикально перед наблюдателем и поэтому называется фронтальной плоскостью проекций (рис. 5а), а другая плоскость 2 располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций . Прямую пересечения плоскостей проекций называют осью проекций.

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций 1 и 2 какую-нибудь точку А , тогда получим две ее проекции: фронтальную проек- цию А 1 на плоскости 1 и горизонтальную проекцию А 2 на плоскости 2 .

Проецирующие прямые АА 1 и АА 2 , при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость А 1 АА 2 , перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций х . Прямые А 1 А x и А x А 2 , являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций 1 и 2 , будут перпендикулярны к оси проекций х .

Обратно, каждая пара точек А 1 и А 2 , соответственно принадлежащих плоскостям 1 и 2 и расположенных на перпендикулярах к оси х , восстановленных из одной и той же точки А х , определяет в пространстве единственную точку А . В самом деле, если провести через точки А 1 и А 2 перпендикуляры А 1 А и А 2 А соответственно к плоскостям 1 и 2 , то они, находясь в одной плоскости А 1 А x А 2 , пересекутся в некоторой точке А .

Расстояние А 2 А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотой h точки А , а ее расстояние А 1 А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А .

2. Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций 2 c плоскостью 1 , вращая плоскость 2 вокруг оси х в направлении, указанном на рис. 5а стрелкой. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 5б), состоящий из двух проекций А 1 и А 2 точки А , лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси х . Прямая А 1 А 2 , соединяющая две проекции точки, называется линией связи .

Полученный комплексный чертеж будет обратимым , т. е. по этому чертежу можно определить или, как говорят, реконструировать оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проекцию А 1 точки А и имея на чертеже ее глубину f =IА x А 2 I, можно реконструировать точку А . Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А 1 и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендикуляра определит положение точки А .

3. Рассмотренный принцип образования комплексного чертежа получил со времен Монжа широкое распространение в учебной литературе. Однако в технической практике нет необходимости в определении положения изображаемого оригинала относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образовании комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций. Основанием этому может служить установленное в § 1 (2) свойство 6, что проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.

Образование комплексного чертежа точки А при нефиксированных плоскостях проекций показано на рис. 6. В этом случае плоскости проекций 1 и 2 совмещают с плоскостью чертежа так, чтобы проекции проецирующей плоскости на плоскостях 1 и 2 лежали бы на одной прямой (рис. 6б)  . Это возможно сделать и при образовании комплексного чертежа любого множества точек, так как проекции всех проецирующих плоскостей этих точек на обеих плоскостях проекций будут параллельны, а расстояния между проекциями каждых двух из этих плоскостей на плоскостях 1 и 2 равны между собой. Для удобства чтения чертежа плоскость 2 считают расположенной ниже всех точек оригинала, а плоскость 1 – сзади всех точек оригинала.

Изображение на плоскости проекции 1 в технической практике называют видом спереди , или, короче, видом 1 , отображение же на плоскости проекций 2 называют видом сверху , или видом 2 . Реконструи- рование оригинала по его комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, производят по его виду спереди 1 и измеренным на чертеже глубинам точек оригинала по отношению к фиксированной в произвольном положении плоскости проекции 1 (рис. 6а); на виде сверху эту плоскость обозначим знаком треугольника.

Фиксированные плоскости проекций, по отношению к которым производят какие-либо измерения, в дальнейшем будем называть базовыми плоскостями.

Таким образом, для реконструкции точки А по ее комплексному чертежу (рис. 6б) нужно восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А на виде спереди и отложить на нем от плоскости чертежа глубину f точки А , измеренную на виде сверху от базовой плоскости, отмеченной на этом виде знаком треугольника (вид сверху этой базовой плоскости будем называть базой отсчета глубин).

Конец этого перпендикуляра определит положение точки А по отношению к плоскости чертежа. Так как положение базовой плоскости выбирается произвольно, то при реконструкции оригинала по комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, его положение определяется с точностью до параллельного переноса.